Question

已知?jiǎng)訄AP與兩圓（x+2）²+y²=2，（x-2）²+y²=2中的一個(gè)內(nèi)切，另一個(gè)外切．
（1）求動(dòng)圓圓心P的軌跡E的方程；
（2）過(guò)（2，0）作直線l交曲線E于A、B兩點(diǎn)，使得|AB|=2

2

，求直線l的方程；
（3）若從動(dòng)點(diǎn)P向圓C：x²+（y-4）²=1作兩條切線，切點(diǎn)為A、B，設(shè)|PC|=t，試用t表示

PA

•

PB

，并求

PA

•

PB

的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)動(dòng)圓P與兩圓（x+2）²+y²=2，（x-2）²+y²=2中的一個(gè)內(nèi)切，另一個(gè)外切，可得點(diǎn)P的軌跡是以M（-2，0），N（2，0）為焦點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng)為2

2

的雙曲線，由此可得動(dòng)圓圓心P的軌跡E的方程；
（2）分類(lèi)討論，設(shè)出直線方程代入雙曲線方程，結(jié)合|AB|=2

2

，可求直線l的方程；
（3）利用向量的數(shù)量積公式，表示出

PA

•

PB

，利用函數(shù)的單調(diào)性，即可求

PA

•

PB

的取值范圍．

解答：解：（1）設(shè)兩圓的圓心分別為M，N，則
∵動(dòng)圓P與兩圓（x+2）²+y²=2，（x-2）²+y²=2中的一個(gè)內(nèi)切，另一個(gè)外切
∴||PM|-|PN||=2

2

，∴點(diǎn)P的軌跡是以M（-2，0），N（2，0）為焦點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng)為2

2

的雙曲線．
即a=

2

，c=2，∴b=

2

∴所求的W的方程為x²-y²=2；
（2）若k不存在，即x=2時(shí)，可得A（2，

2

），B（2，-

2

），|AB|=2

2

滿足題意；
若k存在，可設(shè)l：y=k（x-2），代入雙曲線方程，可得（1-k²）x²+4k²x-4k²-2=0
由

1-k2≠0 △＞0

，可得k≠±1
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則|AB|=

8k2+8

|1-k2|

•

1+k2

=2

2

，∴k=0即l：y=0
∴直線l的方程為x=2或y=0；
（3）

PA

•

PB

=|

PA

||

PB

|cos∠APB=（t2-1）（1-2sin2APC）=（t2-1）[1-2（

1

t

）²]=

(t2-1)(t2-2)

t2

又t²=x²+（y-4）²=y²+2+（y-4）²=2y²-8y+18=2（y-2）²+10≥10
∴

PA

•

PB

=

(t2-1)(t2-2)

t2

=t2+

2

t2

-3
∵f（t）=t2+

2

t2

-3在[

10

，+∞）是增函數(shù)，
∴f（t）≥10+

2

10

-3=7

1

5

∴

PA

•

PB

的取值范圍是[7

1

5

，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線方程和直線方程的求法，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，靈活運(yùn)用圓錐曲線的性質(zhì)和向量數(shù)量積計(jì)算公式是解題的關(guān)鍵．