Question

（本小題滿分12分）已知函數(shù)．

（Ⅰ）討論函數(shù)在定義域內(nèi)的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)；

（Ⅱ）若函數(shù)在處取得極值，對(duì)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)在上沒(méi)有極值點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，在上有一個(gè)極值點(diǎn)（Ⅱ）

【解析】

試題分析：（Ⅰ）顯然函數(shù)的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013011315013527715730/SYS201301131502245583895411_DA.files/image006.png">.

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013011315013527715730/SYS201301131502245583895411_DA.files/image007.png">，所以，

當(dāng)時(shí)，在上恒成立，函數(shù) 在單調(diào)遞減，

∴在上沒(méi)有極值點(diǎn)；                                              ……3分

當(dāng) 時(shí)，由得，由得，

∴在上遞減，在上遞增，即在處有極小值．

∴當(dāng)時(shí)在上沒(méi)有極值點(diǎn)，當(dāng)時(shí)在上有一個(gè)極值點(diǎn).……6分

（Ⅱ）∵函數(shù)在處取得極值，由（Ⅰ）結(jié)論知，

∴，                                      ……8分

令，所以，

令可得在上遞減，令可得在上遞增，   ……10分

∴，即.                                   ……12分

考點(diǎn)：本小題主要考查函數(shù)的求導(dǎo)、函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的極值最值和恒成立問(wèn)題，考查學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力和分類(lèi)討論思想的應(yīng)用以及運(yùn)算求解能力.

點(diǎn)評(píng)：導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)問(wèn)題的有力工具，常常用來(lái)解決函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值等問(wèn)題.對(duì)于題目條件較復(fù)雜，設(shè)問(wèn)較多的題目審題時(shí)，應(yīng)該細(xì)致嚴(yán)謹(jǐn)，將題目條件條目化，一一分析，細(xì)心推敲.對(duì)于設(shè)問(wèn)較多的題目，一般前面的問(wèn)題較簡(jiǎn)單，問(wèn)題難度階梯式上升，先由條件將前面的問(wèn)題正確解答，然后將前面問(wèn)題的結(jié)論作為后面問(wèn)題解答的條件，注意問(wèn)題之間的相互聯(lián)系，使問(wèn)題化難為易，層層解決.