Question

設函數f（x）的定義域為R，若存在正常數M使得|f（x）|≤M|x|對一切實數x均成立，則稱f（x）為F函數，給出下列函數：①f（x）=x²；②f(x)=

x

x2+x+1

；③f(x)=

2

(sinx+cosx)；④f（x）=2sinx，其中是F函數的序號為

 

．

Answer 1

分析：本題考查閱讀題意的能力，根據F函數的定義進行判定，對于②根據單調性可求出存在正常數

4

3

滿足條件，對于④根據三角函數的有界性可知存在正常數2滿足條件，即可得到結論．

解答：解：因為|f（x）|=

|x|

x2+x+1

=

|x|

(x+ 1 2 )2+ 3 4

≤

4

3

|x|，所以②是F函數；
又因為|f（x）|=2|sinx|≤2|x|，所以④也是F函數，而容易得出①和③不是F函數，
故答案為：②④．

點評：本題主要考查了函數的最值及其幾何意義，以及分析問題解決問題的能力，屬于創新型題．