Question

已知數列滿足,我們知道當a取不同的值時，得到不同的數列，如當時，得到無窮數列：當時,得到有窮數列：.
（Ⅰ）求當為何值時；
（Ⅱ）設數列滿足, ，求證：取數列中的任一個數，都可以得到一個有窮數列；
（Ⅲ）若，求的取值范圍.

Answer 1

（Ⅰ）當為何值時
(Ⅱ)證明略
（Ⅲ）

（Ⅰ）
 
(Ⅱ) 解法一：,,
當時, ,
當時,,,
當時,,.
一般地, 當時,可得一個含有項的有窮數列.
下面用數學歸納法證明.
(1)當時, ,顯然,可得一個含有2項的有窮數列
(2)假設當時,,得到一個含有項的有窮數列,其中
,則時,,,
由假設可知,得到一個含有項的有窮數列,其中.
所以,當時, 可以得到一個含有項的有窮數列,,其中
由(1),(2)知,對一切,命題都成立.
解法二：

故取數列中的任一個數，都可以得到一個有窮數列.
（Ⅲ）即,
所以要使,當且僅當它的前一項滿足.
由于,所以只須當時,都有
由,得, 解得.