Question

設函數f(x)是定義在［－1，0）∪（0，1］上的奇函數，當x∈［－1，0）時，f(x)=2ax+（a∈R).

（1）當x∈(0，1］時，求f(x)的解析式；

（2）若a＞－1，試判斷f(x)在（0，1）上的單調性，并證明你的結論；

（3）是否存在a，使得當x∈（0，1）時，f(x)有最大值－6?

Answer 1

（1）解:設x∈(0，1)，則-x∈［-1，0］.

∵f(-x)=-2ax+，f(x)是奇函數.

∴f(x)=2ax-，x∈(0，1.

（2）證明：∵f′(x)=2a+=2(a+),

又a＞-1，x∈(0，1),

∴＞1.

∴a+＞0,即f′(x)＞0.

∴f(x)在（0，1］上是單調遞增函數.

（3）解:當a＞-1時，f(x)在（0，1）上單調遞增.f(x)_max=f(1)=-6a=-(不合題意，舍去).當a≤-1時，f′(x)=0，x=.

如下表,f_max(x)=f()=-6，解出a=-2.

x=∈(0，1).

x	（-∞，）		（，+∞）
F′(x)	+	0	-
F(x)		最大值

∴存在a=-2使f(x)在（0，1）上有最大值-6.