【題目】如圖，正三角形ABC的邊長為2，D、E、F分別在三邊AB，BC和CA上，且D為AB的中點，∠EDF=90°，∠BDE=θ（0°＜θ＜90°）． 
（1）當tan∠DEF= 
時，求θ的大小；
（2）求△DEF的面積S的最小值及使得S取最小值時θ的值．
【答案】
（1）解：在△BDE中，由正弦定理 
= 
得：DE= 
= 
，
在△ADF中，由正弦定理 
= 
得：DF= 
= 
，
∵tan∠DEF= 
，
∴ 
= ，整理得：tanθ= 
，
則θ=60°
（2）解：S= 
DEDF= 
= 
= 
= 
，
當θ=45°時，S取最小值 
= 
【解析】（1）在△BDE中，BD=1，B=60°，∠BED=120°﹣θ，利用正弦定理表示出DE，在△ADF中，利用正弦定理表示出DF，根據tan∠DEF的值，列表關系式，整理求出tanθ的值，即可確定出θ的大小；（2）根據兩直角邊乘積的一半表示出三角形DEF面積S，利用兩角和與差的正弦函數公式化簡，整理后利用同角三角間基本關系變形，由正弦函數的值域即可確定出S的最小值以及使得S取最小值時θ的值．
【考點精析】認真審題，首先需要了解正弦定理的定義(正弦定理:
)，還要掌握余弦定理的定義(余弦定理:
;
;
)的相關知識才是答題的關鍵．
核心素養學練評系列答案
單元期中期末卷系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】海水養殖場進行某水產品的新、舊網箱養殖方法的產量對比，收獲時各隨機抽取了100個網箱，測量各箱水產品的產量（單位：kg）, 其頻率分布直方圖如下：
（1） 記A表示事件“舊養殖法的箱產量低于50kg”，估計A的概率；
（2） 填寫下面列聯表，并根據列聯表判斷是否有99%的把握認為箱產量與養殖方法有關：
箱產量＜50kg | 箱產量≥50kg | |
舊養殖法 | ||
新養殖法 |
（3） 根據箱產量的頻率分布直方圖，對兩種養殖方法的優劣進行較。
附：
P（ | 0.050 | 0.010 | 0.001 |
k | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
的短軸長為
，橢圓
上任意一點到右焦點
距 離的最大值為
．
（Ⅰ）求橢圓的標準方程；
（Ⅱ）過點
作直線
與曲線交于
兩點，點
滿足
（
為坐標原點），求四邊形
面積的最大值，并求此時的直線的方程.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】設數列{an}的各項都為正數，其前n項和為Sn ， 已知4Sn=an2+2an ．
（1）求a1級數列{an}的通項公式；
（2）設數列{bn}前n項和為Tn ， 且bn= 
，若λTn＜n+（﹣1）n36對n∈N*恒成立，求實數λ的取值范圍．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知向量 
=（2cos2x，sinx）， 
=（1，2cosx）． （Ⅰ）若 ⊥ 且0＜x＜π，試求x的值；
（Ⅱ）設f（x）= ，試求f（x）的對稱軸方程和對稱中心．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在三棱錐P﹣ABC中，BC⊥平面APC，AB=2 
，AP=PC=CB=2． 
（1）求證：AP⊥平面PBC；
（2）求二面角P﹣AB﹣C的大小．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】河道上有一座圓拱橋，在正常水位時，拱圈最高點距水面9m，拱圈內水面寬22m．一條船在水面以上部分高6.5m，船頂部寬4m，故通行無阻．近日水位暴漲了2.7m，為此，必須加重艦載，降低船身，才能通過橋洞．試問船身至少應該降低多少？（精確到0.01，參考數據： 
） 
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