Question

已知且，函數，，記
（1）求函數的定義域及其零點；
（2）若關于的方程在區間內僅有一解，求實數的取值范圍.

Answer 1

（1），0；（2）

解析試題分析：（1）均有意義時，才有意義，即兩個對數的真數均大于0.解關于x的不等式即可得出的定義域，函數的零點，即，整理得，對數相等時底數相同所以真數相等，得到，基礎x即為函數的零點（2）即，，應分和兩種情況討論的單調性在求其值域。有分析可知在這兩種情況下均為單調函數，所以的值域即為。解關于m的不等式即可求得m。所以本問的重點就是討論單調性求其值域。
試題解析：（1）解：（1）（且）
，解得，
所以函數的定義域為                               2分
令，則（*）方程變為
，，即
解得，                                    3分
經檢驗是（*）的增根，所以方程（*）的解為，
所以函數的零點為，                              4分
（2）∵函數在定義域D上是增函數
∴①當時， 在定義域D上是增函數
②當時，函數在定義域D上是減函數    6分
問題等價于關于的方程在區間內僅有一解，
∴①當時，由（2）知，函數F（x）在上是增函數
∴∴只需  解得：或
∴②當時，由（2）知，函數F（x）在上是減函數
∴ ∴只需   解得：  10分
綜上所述，當時：；當時，或（12分）
考點：對數函數的定義域，函數的零點，復合函數單調性