Question

【題目】設不等式組 所表示的平面區域為Dn ， 記Dn內的格點（格點即橫坐標和縱坐標皆為整數的點）的個數為f（n）（n∈N*）．
（1）求f（1）、f（2）的值及f（n）的表達式；
（2）設bn=2nf（n），Sn為{bn}的前n項和，求Sn；
（3）記 ，若對于一切正整數n，總有Tn≤m成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：畫出 的可行域

f（1）=2+1=3

f（2）=3+2+1=6

當x=1時，y=2n，可取格點2n個；當x=2時，y=n，可取格點n個

∴f（n）=3n

（2）解：由題意知：bn=3n2n

Sn=321+622+923+…+3（n﹣1）2n﹣1+3n2n

∴2Sn=322+623+…+3（n﹣1）2n+3n2n+1

∴﹣Sn=321+322+323+…32n﹣3n2n+1

=3（2+22+…+2n）﹣3n2n+1

=3

=3（2n+1﹣2）﹣3nn+1

∴﹣Sn=（3﹣3n）2n+1﹣6

Sn=6+（3n﹣3）2n+1

（3）解：

∴T1＜T2=T3＞T4＞…＞Tn

故Tn的最大值是T2=T3=

∴m≥ ．

【解析】（1）據可行域，求出當x=1，x=2時，可行域中的整數點，分別求出f（1），f（2），f（n）．（2）由于數列的通項是一個等差數列與一個等比數列的積構成的新數列，利用錯位相減的方法求出數列的和．（3）求出 ，據它的符號判斷出Tn的單調性，求出Tn的最大值，令m大于等于最大值即可．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解二元一次不等式（組）所表示的平面區域的相關知識，掌握不等式組表示的平面區域是各個不等式所表示的平面區域的公共部．