Question

已知橢圓C：的右焦點為F，左頂點為A，點P為曲線D上的動點，以PF為直徑的圓恒與y軸相切．
（Ⅰ）求曲線D的方程；
（Ⅱ）設O為坐標原點，是否存在同時滿足下列兩個條件的△APM？①點M在橢圓C上；②點O為APM的重心．若存在，求出點P的坐標；若不存在，說明理由．（若三角形ABC的三點坐標為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），則其重心G的坐標為（，））

Answer 1

【答案】分析：（I）設P（x，y），由橢圓C的方程可得F（1，0），由題意可得以PF為直徑的圓的圓心，利用兩點間的距離公式得到，化簡即可；
（II）不存在．可用反證法證明．若這樣的三角形存在，由題可設，由條件知點M在橢圓上可得，由三角形的重心定理可得，及點A（-2，0），代入化簡即可得到x₂，判斷即可．
解答：解：（Ⅰ）設P（x，y），由題知F（1，0），所以以PF為直徑的圓的圓心，
則，
整理得y²=4x，為所求．
（Ⅱ）不存在，理由如下：
若這樣的三角形存在，由題可設，
由條件①知，
由條件②得，又因為點A（-2，0），
所以即，
故，
解之得x₂=2或（舍），
當x₂=2時，解得P（0，0）不合題意，
所以同時滿足兩個條件的三角形不存在．
點評：本題考查了橢圓及拋物線的定義、標準方程及其性質、反證法、重心定理、向量的運算性質等基礎知識與基本技能，考查了推理能力和計算能力．