Question

定義：對于定義域為D的函數f（x），如果存在t∈D，使得f（t+1）=f（t）+f（1）成立，稱函數f（x）在D上是“T”函數．已知下列函數：
①f（x）=；　
②f（x）=log₂（x²+2）；
③f（x）=2^x（x∈（0，+∞））；　
④f（x）=cosπx（x∈[0，1]），其中屬于“T”函數的序號是________．（寫出所有滿足要求的函數的序號）

Answer 1

③
分析：①，屬于t²+t+1=0，方程無實數解；
②log₂[（t+1）²+2]=log₂（t²+2）+log₂3，∴2t²-2t+3=0，方程無實數解；
③2^t+1=2^t+2，屬于t=1＞0，即存在t=1∈（0，+∞），使得f（t+1）=f（t）+f（1）成立；
④cos（π+tπ）=costπ-1，所以t=，此時t+1=∉[0，1]．
解答：①由題意，若存在t∈D，使得f（t+1）=f（t）+f（1）成立，則，整理得t²+t+1=0，方程無實數解，故①不是“T”函數；
②由定義可得：log₂[（t+1）²+2]=log₂（t²+2）+log₂3，即2t²-2t+3=0，方程無實數解，故②不是“T”函數；
③由定義可得：2^t+1=2^t+2，∴t=1＞0，即存在t=1∈（0，+∞），使得f（t+1）=f（t）+f（1）成立，故③是“T”函數；
④由定義可得：cos（π+tπ）=costπ-1，即2costπ=1，解得t=，此時t+1=∉[0，1]，故④不是“T”函數．
綜上知，屬于“T”函數的序號是③
故答案為：③
點評：本題考查新定義，考查學生的閱讀能力，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．