Question

已知f（x）=|x+l|+|x-2|，g（x）=|x+l|-|x-a|+a（a∈R）．
（Ⅰ）解不等式f（x）≤5；
（Ⅱ）若不等式f（x）≥g（x）恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）f（x）=|x+l|+|x-2|表示數軸上的x對應點到-1和2對應點的距離之和，而-2 對應點到-1和2對應點的距離之和正好等于5，3對應點到-1和2對應點的距離之和正好等于5，從而得到不等式f（x）≤5的解集．
（Ⅱ）由題意可得|x-2|+|x-a|≥a 恒成立，而|x-2|+|x-a|的最小值為|2-a|=|a-2|，故有|a-2|≥a，由此求得a的范圍．

解答：解：（Ⅰ）f（x）=|x+l|+|x-2|表示數軸上的x對應點到-1和2對應點的距離之和，
而-2 對應點到-1和2對應點的距離之和正好等于5，3對應點到-1和2對應點的距離之和正好等于5，
故不等式f（x）≤5的解集為[-2，3]．
（Ⅱ）若不等式f（x）≥g（x）恒成立，即|x-2|+|x-a|≥a 恒成立．
而|x-2|+|x-a|的最小值為|2-a|=|a-2|，∴|a-2|≥a，
∴（2-a）²≥a²，解得a≤1，故a的范圍（-∞，1]．

點評：本題主要考查絕對值不等式的解法，體現了等價轉化數學思想，屬于中檔題．