Question

f（x）是定義在R上的以3為周期的奇函數，且f（2）=0在區間（0，6）內整數解的個數是（　　）

A．2

B．3

C．4

D．5

Answer 1

分析：由函數的周期為3可得f（x+3）=f（x），再結合函數的奇偶性確定出函數在給定區間上的零點個數，注意找全零點，不能漏掉．

解答：解：由函數的周期為3可得f（x+3）=f（x），由于f（2）=0，若x∈（0，6），則可得出f（5）=f（2）=0．
又根據f（x）為奇函數，則f（-2）=-f（2）=0，又可得出f（4）=f（1）=f（-2）=0．
又函數f（x）是定義在R上的奇函數，可得出f（0）=0，從而f（3）=f（0）=0．
在f（x+3）=f（x）中，令x=-

3

2

，則有f（-

3

2

）=f（

3

2

）．再由奇函數的定義可得f（-

3

2

）=-f（

3

2

），∴f（

3

2

）=0．
故f（

9

2

）=f（

3

2

）=f（4）=f（1）=f（3）=f（5）=f（2）=0，共7個解，故在區間（0，6）內整數解的個數是5，
故選D．

點評：本題考查抽象函數的求值問題，考查函數周期性的定義，函數奇偶性的運用，把握住函數零點的定義是解決本題的關鍵，屬于中檔題．