Question

已知二次函數f（x）=ax²+bx+1（a＞0），F（x）=

f(x)(x＞0) -f(x)(x＜0)

若f（-1）=0，且對定義域內任意實數x均有f（x）≥0成立．
（1）求F（x）的表達式； 
（2）當x∈[-2，2]時，g（x）=f（x）-kx是單調函數，求k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由f（-1）=a-b+1=0，由對定義域內任意實數x均有f（x）≥0成立，且a＞0可得△=b²-4a≤0，從而可求a，b進而可求f（x）即可
（2）由x∈[-2，2]時，g（x）=f（x）-kx=x²+（2-k）x+1是單調函數，結合二次函數的性質可知

k-2

2

≥2或

k-2

2

≤2，從而可求

解答：解：（1）∵f（-1）=a-b+1=0①
∵對定義域內任意實數x均有f（x）≥0成立，且a＞0
∴△=b²-4a≤0②
①②聯立可得（a-1）²≤0即a=1，b=2
∴f（x）=x²+2x+1
∴F（x）=

(x+1)2，x＞0 -(x+1)2，x＜0

（2）∵x∈[-2，2]時，g（x）=f（x）-kx=x²+（2-k）x+1是單調函數
又∵函數g（x）的對稱軸為x=

k-2

2

∴

k-2

2

≥2或

k-2

2

≤2
∴k≥6或k≤-2

點評：本題主要考查了利用待定系數法求解二次函數的函數解析式，及二次函數的性質：單調性的應用，屬于 基本知識 的應用．