Question

設函數f(x)=

x2 1+x2 -1 -1(x＞0) a(x=0) b x ( 1+x -1)(x＜0)

（1）若f（x）在x=0處的極限存在，求a，b的值；
（2）若f（x）在x=0處連續，求a，b的值．

Answer 1

分析：（1）若f（x）在x=0處的極限存在則

lim

x→0+

x2

1+x2  -1

-1=

lim

x→0-

b

x

(

1+x

-1)，從而可求a，b
（2））若f（x）在x=0處連續則

lim

x→0+

x2

1+x2  -1

-1=

lim

x→0-

b

x

(

1+x

-1)=f（0），從而可求a，b

解答：解：（1）若f（x）在x=0處的極限存在
則

lim

x→0+

x2

1+x2  -1

-1=

lim

x→0-

b

x

(

1+x

-1)
∴

lim

x→0+

(

1+x2

 +1)-1=

lim

x→0-

1

1+x +1

•b
∴1=

1

2

b
∴a∈R，b=2
（2））若f（x）在x=0處連續
則

lim

x→0+

x2

1+x2  -1

-1=

lim

x→0-

b

x

(

1+x

-1)=f（0）

同（1）可得，b=2，且f（0）=a=1
∴a=1，b=2

點評：本題主要考查了函數的極限存在的條件與函數連續的條件的應用，解題的關鍵是熟練求解該題中極限，但要注意極限存在與函數連續的區別