Question

證明：1+

1

2

+

1

3

+…+

1

2n

＞

n+2

2

（n∈N，n≥2）．

Answer 1

分析：用數學歸納法證明：
（1）檢驗n=2時，不等式成立，
（2）假設n=k時，不等式成立，
在此基礎上推證 n=k+1 時，不等式也成立，
從而說明：1+

1

2

+

1

3

+…+

1

2n

＞

n+2

2

（n∈N，n≥2）成立．
注意 n=k+1 時不等式左邊 比n=k時的左邊多出了2^k項：（

1

2k+1

+

1

2k+2

+…+

1

2k+2k

）

解答：解：（1）當n=2時，不等式左邊=1+

1

2

+

1

3

+

1

4

=

25

12

，不等式右邊=

4

2

=2，不等式成立，
（2）假設n=k時，不等式成立，即 1+

1

2

+

1

3

+…+

1

2k

＞

k+2

2

成立，
則 1+

1

2

+

1

3

+…+

1

2k

+（

1

2k+1

+

1

2k+2

+…+

1

2k+2k

）＞

k+2

2

+（

1

2k+1

+

1

2k+1

+…+

1

2k+1

）=

k+2

2

+（

2k

2k+1

）
=

k+2

2

+

1

2

=

k+3

2

∴n=k+1時，不等式也成立
綜合（1）、（2）知，1+

1

2

+

1

3

+…+

1

2n

＞

n+2

2

（n∈N，n≥2）成立．

點評：注意：（1）證 n=k+1時，不等式成立，要應用假設
（2）n=k+1 時，不等式左邊 比n=k時的左邊多出了2^k項：（

1

2k+1

+

1

2k+2

+…+

1

2k+2k

）