Question

已知：函數(shù)，x∈R．
（Ⅰ）求證：函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對稱，并求f（-2007）+f（-2006）+…+f（0）+f（1）+…+f（2009）的值．
（Ⅱ）設(shè)g（x）=f′（x），a_n+1=g（a_n），n∈N^₊，且1＜a₁＜2，求證：
（�。┱堄脭�(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)n≥2時，；
（ⅱ）．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）設(shè)P（1-x₁，y₁）是函數(shù)f（x）的圖象上的任一點(diǎn)，則P關(guān)于點(diǎn)的對稱點(diǎn)是Q（1+x₁，），證明Q也在函數(shù)f（x）的圖象上，即可得到結(jié)論；根據(jù)f（1+x₁）+f（1-x₁）=，f（1）=，利用倒序相加法，即可求得結(jié)論；
（Ⅱ）g（x）=f′（x）=-．（�。┫茸C明當(dāng)n=2時，命題成立，再利用g（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞減，證明n=k+1時，命題成立，即可得到結(jié)論；
（ⅱ）先證明＜，再利用等比數(shù)列的求和公式，即可得到結(jié)論．
解答：（Ⅰ）證明：設(shè)P（1-x₁，y₁）是函數(shù)f（x）的圖象上的任一點(diǎn)，則P關(guān)于點(diǎn)的對稱點(diǎn)是Q（1+x₁，）
∵f（1+x₁）+f（1-x₁）=[]+[]=
∴f（1+x₁）=-f（1-x₁）=-y₁，
∴Q也在函數(shù)f（x）的圖象上
∴函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對稱；
∵f（1+x₁）+f（1-x₁）=，f（1）=
∴f（-2007）+f（-2006）+…+f（0）+f（1）+…+f（2009）+f（2009）+f（2008）+…+f（2）+f（1）+…+f（-2007）=
∴f（-2007）+f（-2006）+…+f（0）+f（1）+…+f（2009）=5356；
（Ⅱ）證明：g（x）=f′（x）=-．
（�。�（1）當(dāng)n=2時，a₂=g（a₁）=-
∵1＜a₁＜2，∴1＜a₂＜，∴命題成立
（2）假設(shè)n=k（k≥2）時，1＜a_k＜，則a_k+1=g（a_k）=-
∵g（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞減，∴1-g（2）＜g（）＜a_k+1＜g（1）=
∴n=k+1時，命題成立
由（1）（2）可知，當(dāng)n≥2時，；
（ⅱ）=
∵，∴＜1
∴＜
∴＜＜…＜＜
∴＜1++…=2-＜2
∴．
點(diǎn)評：本題考查函數(shù)圖象的對稱性，考查數(shù)學(xué)歸納法，考查不等式的證明，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．