Question

【題目】已知函數f(x)＝x(1－)是R上的偶函數．

(1)對任意的x∈[1,2]，不等式m·≥2x＋1恒成立，求實數m的取值范圍．

(2)令g(x)＝1－，設函數F(x)＝g(4x－n)－g(2x＋1－3)有零點，求實數n的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）實數m的取值范圍為[3，＋∞).（2）實數n的取值范圍是(2，＋∞).

【解析】試題分析：（1）先根據偶函數得a＝2，再分離變量得m≥2x－1最大值，即得實數m的取值范圍（2）根據函數單調性化簡方程F(x)＝0得n＝4x－2x＋1＋3，再根據二次函數值域求實數n的取值范圍．

試題解析：(1)∵函數f(x)為偶函數，∴f(－x)＝f(x)，即(－x)·(1－)＝x·(1－)．

∴x·(2－a)＝0，由于x不恒為0，∴a＝2.3分

故f(x)＝x(1－)＝x·.

又x∈[1,2]，∴2x－1＞0,2x＋1＞0，

∴不等式m·≥2x＋1恒成立，等價于m≥2x－1恒成立．

又x∈[1,2]，∴2x－1∈[1,3]，∴當m≥3時，不等式m≥2x－1恒成立，

∴實數m的取值范圍為[3，＋∞).

(2)函數F(x)＝g(4x－n)－g(2x＋1－3)有零點，等價于方程g(4x－n)－g(2x＋1－3)＝0有實數根．由(1)知f(x)＝x(1－)，

∴g(x)＝1－＝ (x≠0)．

由2x＋1是增函數，∴g(x)是減函數.9分

∴4x－n＝2x＋1－3，

∴n＝4x－2x＋1＋3.

∵4x－2x＋1＋3

＝(2x)2－2·2x＋3

＝(2x－1)2＋2，

又x≠0，∴(2x－1)2＋2>2.

故實數n的取值范圍是(2，＋∞).