Question

（2012•眉山一模）函數f（x）=ax³-6ax²+3bx+b，其圖象在x=2處的切線方程為3x+y-11=0．
（Ⅰ）求函數f（x）的解析式；
（Ⅱ）若關于x的方程f(x)-m=0在[

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2

，4]上恰有兩個不等實根，求實數m的取值范圍；
（Ⅲ）函數y=f（x）圖象是否存在對稱中心？若存在，求出對稱中以后坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）易求切點為（2，5）則f（2）=5①，然后再根據導數的幾何意義可得f^′（2）=-3②根據①②即可求出a，b的值從而可求出函數f（x）的解析式．
（Ⅱ）問題即求方程m=f（x）在區間[

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2

，4]上恰由兩個不等實根而解決這類問題常用數形結合的方法即根據導數判斷函數的單調性作出函數f（x）的簡圖然后平行移動直線y=m使得其與f（x）有兩個不同的交點所對應的m的范圍即為所求．
（Ⅲ）若函數y=f（x）圖象存在對稱中心則其極值點也關于此中心對稱，故可先求出函數f（x）的極值點然后利用中點坐標公式求出的中點即為對稱中心然后在利用對稱的定義證明則曲線y=f（x）關于此點對稱即可．

解答：解：（Ⅰ）由題意得f^′（x）=3ax²-12ax+3b，f^′（2）=-3且f（2）=5
∴

4a-b=1 -16a+7b=5

∴a=1，b=3
∴f（x）=x³-6x²+9x+3
（Ⅱ）既考慮方程m=f（x）在區間[

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，4]上恰由兩個不等實根的情形
∵f（x）=x³-6x²+9x+3
∴f^′（x）=3（x-1）（x-3）
令f^′（x）＞0則x＜1或x＞3而x∈[

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2

，4]∴

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2

＜x＜1或3＜x＜4即f（x）在x∈[

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2

，1）和x∈（3，4]上單調遞增
令f^′（x）＜0則1＜x＜3∴f（x）在x∈（1，3）上單調遞減
∴當x=1時f（x）取得極大值f（1）=7，當x=3時f（x）取得極小值f（3）=3
∵f（

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2

）=

49

8

，f（4）=7
∴可作出函數f（x）在區間[

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，4]上的圖象
如圖可知，當方程f（x）-m=0在[

1

2

，4]上恰由兩個不等實根的情時實數m的取值范圍是3＜m＜

49

8

或m=7
（Ⅲ）存在對稱中心，其坐標為（2，5）
由（Ⅱ）知，f^′（x）=3（x-1）（x-3）
∴當x＜1或x＞3時f^′（x）＞0，當1＜x＜3時f^′（x）＜0故可知函數f（x）的極值點為A（1，7），B（3，3），線段AB的中點P（2，5）在曲線y=f（x）上，且該曲線關于點P（2，5）成中心對稱，證明如下：
∵f（x）=x³-6x²+9x+3
∴f（4-x）=（4-x）³-6（4-x）²+9（4-x）+3=-x³+6x²-9x+7
∴f（x）+f（4-x）=10
上式表明若點A（x，y）為曲線y=f（x）上任一點，其關于點P（2，5）的對稱點A（4-x，10-y）也在曲線y=f（x）上，則曲線y=f（x）關于點P（2，5）對稱

點評：本題主要考查了導數的幾何意義，數形結合思想的應用，以及曲線的對稱中心的求解與證明．解題的關鍵是要理解導數的幾何意義同時要掌握方程的根的個數與所對應的函數的交點的個數是對應的這個轉化思想！