Question

【題目】如圖，在四棱錐中，底面是矩形，側棱底面，且，為棱的中點，作交于點.

（1）證明：平面；

（2）若面與面所成二面角的大小為，求與面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】(1)證明見詳解；(2).

【解析】

（1）先證，結合已知條件，即可求證；

（2）建立空間直角坐標系，由二面角大小求得長度，再用線面角的定義即可求解.

（1）因為平面，平面，故；

又因為四邊形為矩形，故可得；

又平面，且，

故可得平面；

又因為平面，故可得，

又因為，為中點，故，

結合平面，，

故可得平面，

又因為平面，則.

由題可知，又平面，，

即證平面.

（2）因為平面，且底面為矩形，

故可得兩兩垂直.

則以為坐標原點，分別為軸建立空間直角坐標系，

如下圖所示：

不妨設，故可得

，

由（1）中所得可知為平面的法向量，

容易知是平面的一個法向量.

又因為面與面所成二面角的大小為，

故可得，解得.

又因為平面，故可得即為所求.

在中，.

故與面所成角的正弦值為.