Question

自圓x²+y²-2x-4y+4=0外一點P（0，4）向圓引兩條切線，切點分別為A，B，則

PA

•

PB

等于

12

5

．

Answer 1

分析：由已知中P是圓C：x²+y²-2x-4y+4=0外的一點，PA、PB為該圓的兩條切線，A、B為兩切點，我們可以先求出圓心和半徑以及|

PC

|，進而表示出|

PA

|=|

PB

|，求出cos∠APB即可求出結論．

解答：解：∵圓C：x²+y²-2x-4y+4=0
可得圓的半徑為1，C（1，2），連接CA，CP，CB如下圖所示：
由條件得：|

PC

|=

(1-0) 2+(2-4) 2

=

5

，
則|

PA

|=|

PB

|=

PC 2-AC2

=2．
∴cos∠APB=cos2∠APC=1-2sin²∠APC=1-2•（

1

5

）²=

3

5

∴

PA

•

PB

=|

PA

|•|

PB

|•cos∠APB=2×2×

3

5

=

12

5

．
故

PA

•

PB

等于

12

5

．
故答案為：

12

5

．

點評：本題考查的知識點是向量在幾何中的應用，其中根據已知條件，得到

PA

•

PB

的表達式，是解答本題的關鍵．