Question

下列關于函數f（x）=x³-3x²+1（x∈R）的性質敘述錯誤的是（　　）

A．f（x）在區間（0，2）上單調遞減

B．曲線y=f（x）在點（2，-3）處的切線方程為y=-3

C．f（x）在x=0處取得最大值為1

D．f（x）在其定義域上沒有最值

Answer 1

分析：運用導數的正負研究函數的單調性，運用導數的幾何意義求解在某點處的切線方程，運用導數求出單調性和極值即可判斷最值，從而得到答案．

解答：解：∵函數f（x）=x³-3x²+1，
∴f′（x）=3x²-6x=3x（x-2），
對于A，令f′（x）=3x²-6x=3x（x-2）＜0，解得0＜x＜2，即f（x）在區間（0，2）上單調遞減，故A正確；
對于B，切線的斜率k=f′（2）=0，又切點為（2，-3），由點斜式即可得切線方程為y=-3，故B正確；
對于C，f（x）在（-∞，0）單調遞增，在（0，2）當單調遞減，在（2，+∞）上單調遞增，則f（x）在R上無最值，故C錯誤；
對于D，根據C中的分析，故D正確；
綜上，錯誤的是C．
故選C．

點評：本題考查了利用導數研究曲線上某點的切線方程，運用了函數在某點處切線的斜率即在該點處的導數；利用導數研究函數的單調性，要抓住導數的正負對應著函數的增減；利用導數研究函數的最值，要注意區間端點的函數值與極值的比較．屬于基礎題．