Question

(本小題滿分16分)知函數f(x)＝ax³＋bx²＋cx＋d(a、b、c、dR)，且函數f(x)的圖象關于原點對稱，其圖象x＝3處的切線方程為8x－y－18＝0.

(1)求f(x)的解析式；

(2)是否存在區間，使得函數f(x)的定義域和值域均為？若存在，求出這樣的一個區間；若不存在，則說明理由；

(3)若數列｛a_n｝滿足：a₁≥1，a_n+1≥，試比較＋＋＋…＋與1的大小關系，并說明理由.

Answer 1

 (1)∵f(x)的圖像關于原點對稱，

∴f(－x)＋f(x)＝0恒成立，    即2bx²＋2d≡0，∴b＝d＝0……………………2分

又f(x)的圖像在x＝3處的切線方程為8x－y－18＝0，即 y－6＝8(x－3)，

∴f '(3)＝8，且f(3)＝6, 而f(x)＝ax³＋cx，∴f '(x)＝3ax²＋c

                                   ……………………4分

解得   故所求的解析式為f(x)＝x³－x            ……………5分

(2)解　，得x＝0或x＝± ……………………6分

又f '(x)＝x²－1，由f '(x)＝0得x＝±1，

且當x∈[－，－1]或x∈[1，]時，f '(x)>0；

當x∈[－1，1]時 f '(x)< 0

∴f(x)在[－，－1]和[1，]上分別遞增；在[—1,1]遞減.

∴f(x)在[－，]上的極大值和極小值分別為f(－1)＝ ，f(1)＝－ ………8分

而－<－<　 <

故存在這樣的區間，其中一個區間為[－，]  ……………………10分

(3)由(2)知f ' (x)＝x²－1，∴a_n+1≥(a_n＋1)²－1

而函數y＝(x＋1)²—1＝x²＋2x在[1,+∞)單調遞增，

∴由a_l≥1，可知，a₂≥(a_l＋1)²—1＝2²—l；進而可得a₃≥(a₂＋1)²—1≥2³—1；…

由此猜想a_n≥2ⁿ—1.                                     …………………12分

下面用數學歸納法證明：

①當n＝1時，a_l≥1＝2¹－1，結論成立

②假設n＝k時有a_k≥2^k－1，

則當n＝k＋1時，

由f(x)＝x²＋2x在[1,+∞)上遞增可知，

a_k+1≥(a_k＋1)²－1≥(a_k－1＋1)²－1＝2^k+1－1，

即n=k+1時結論成立                              …………………14分

∴對任意的n∈N⁺都有a_n≥2ⁿ—1，即1+a_n≥2ⁿ，    ∴≤

∴＋＋＋…＋≤＋＋＋…＋

＝＝1－（）ⁿ<l

故　＋＋＋…＋<l        ……………………16分