Question

（2011•徐匯區三模）定義：由橢圓的兩個焦點和短軸的一個頂點組成的三角形稱為該橢圓的“特征三角形”．如果兩個橢圓的“特征三角形”是相似的，則稱這兩個橢圓是“相似橢圓”，并將三角形的相似比稱為橢圓的相似比．已知橢圓C1：

x2

4

+y2=1．
（1）若橢圓C2：

x2

16

+

y2

4

=1，判斷C₂與C₁是否相似？如果相似，求出C₂與C₁的相似比；如果不相似，請說明理由；
（2）寫出與橢圓C₁相似且短半軸長為b的橢圓C_b的方程；若在橢圓C_b上存在兩點M、N關于直線y=x+1對稱，求實數b的取值范圍？
（3）如圖：直線l與兩個“相似橢圓”

x2

a2

+

y2

b2

=1和

x2

a2

+

y2

b2

=λ2(a＞b＞0，0＜λ＜1)分別交于點A，B和點C，D，證明：|AC|=|BD|

Answer 1

分析：（1）分別求出特征三角形是腰長為a 和底邊長為2c，從而得到橢圓的相似比．
（2）設出橢圓C_b的方程，直線l_MN的方程，根據兩點關于直線對稱的性質，求出直線l_MN的方程，根據直線l_MN與橢圓C_b有兩個不同的交點，判別式大于零，求得實數b的取值范圍．
（3）直線l與x軸垂直時，易得線段AB與CD的中點重合；直線l不與x軸垂直時，設出直線l的方程，聯立直線方程與橢圓方程分別求出線段AB與CD的中點，得到中點坐標相同即可說明結論．

解答：解：（1）橢圓C₂與C₁相似．-------------------（2分）
因為橢圓C₂的特征三角形是腰長為4，底邊長為4

3

的等腰三角形，而橢圓C₁的特征三角形是腰長為2，底邊長為2

3

的等腰三角形，因此兩個等腰三角形相似，且相似比為2：1-------------------（4分）
（2）橢圓C_b的方程為：

x2

4b2

+

y2

b2

=1(b＞0)-------------------（6分）
設l_MN：y=-x+t，點M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），MN中點為（x₀，y₀），
則

y=-x+t x2 4b2 + y2 b2 =1

，所以5x²-8tx+4（t²-b²）=0-------------------（8分）
則x0=

x1+x2

2

=

4t

5

，y0=

t

5

-------------------（9分）
因為中點在直線y=x+1上，所以有

t

5

=

4t

5

+1，t=-

5

3

-------------------（10分）
即直線l_MN的方程為：lMN：y=-x-

5

3

，
由題意可知，直線l_MN與橢圓C_b有兩個不同的交點，
即方程5x2-8(-

5

3

)x+4[(-

5

3

)2-b2]=0有兩個不同的實數解，
所以△=(

40

3

)2-4×5×4×(

25

9

-b2)＞0，即b＞

5

3

-------------------（12分）
（3）證明：
①直線l與x軸垂直時，易得線段AB與CD的中點重合，所以|AC|=|BD|；-------------------（14分）
②直線l不與x軸垂直時，設直線l的方程為：y=kx+n，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
線段AB的中點（x₀，y₀），

y=kx+n x2 a2 + y2 b2 =1

⇒(b2+a2k2)x2+2a2knx+(a2n2-a2b2)=0-------（15分）⇒

x0= 1 2 (x1+x2)=- a2kn b2+a2k2 y0=kx0+n= nb2 b2+a2k2

⇒線段AB的中點為(-

a2kn

b2+a2k2

，

nb2

b2+a2k2

)----------（16分）
同理可得線段CD的中點為(-

a2kn

b2+a2k2

，

nb2

b2+a2k2

)，-------------------（17分）
即線段AB與CD的中點重合，所以|AC|=|BD|-------------------（18分）

點評：本題考查直線和圓錐曲線的位置關系，兩點關于直線對稱的性質，求直線MN的方程是解決第二問的關鍵，而第三問的關鍵在于分析出：線段AB與CD的中點重合⇒|AC|=|BD|．