Question

（本題滿分18分，第（1）小題9分，第（2）小題9分）
設復數與復平面上點對應.
（1）設復數滿足條件（其中，常數），當為奇數時，動點的軌跡為；當為偶數時，動點的軌跡為，且兩條曲線都經過點，求軌跡與的方程；
（2）在（1）的條件下，軌跡上存在點，使點與點的最小距離不小于，求實數的取值范圍.

Answer 1

（1）
（2）或.

（本題滿分18分，第（1）小題9分，第（2）小題9分）
解：（1）方法1：①當為奇數時，，常數，
軌跡為雙曲線，其方程為；……3分
②當為偶數時，，常數，
軌跡為橢圓，其方程為；……6分
依題意得方程組解得，
因為，所以，
此時軌跡為與的方程分別是：，.……9分
方法2：依題意得……3分
軌跡為與都經過點，且點對應的復數，
代入上式得，……6分
即對應的軌跡是雙曲線，方程為；
對應的軌跡是橢圓，方程為.……9分
（2）由（1）知，軌跡：，設點的坐標為，
則
，……12分
當即時，
當即時，，……16分
綜上或.……18分