Question

一根水平放置的長方形枕木的安全負荷與它的寬度a成正比，與它的厚度d的平方成正比，與它的長度l的平方成反比.

（1）將此枕木翻轉90°（即寬度變為厚度），枕木的安全負荷變大嗎？為什么？

（2）現取一根橫斷面為半圓（半圓的半徑為R）的木材，用它來截取長方形枕木，其長度即為枕木規定的長度，問如何截取，可使安全負荷最大？

Answer 1

思路分析：此題字母較多，1）需仔細審題利用正比和反比引入比例系數合理地表示出兩種安全負荷;2）做第(2)問時，要合理地選取自變量，建立函數模型，可以以截面中長方形的長來作變量，也可以選取角度來作變量，選取方式不同，簡繁也是不同的.

解：（1）安全負荷y₁=k·(k＞0)，翻轉后為

y₂=k·.∵,∴當0＜d＜a時，y₁＜y₂;當0＜a＜d時，y₁＞y₂.

（2）設橫截面的寬為a，高為d,則a²+4d²=R².∵枕木的長度不變，∴u=ad²最大時，安全負荷最大.

u=

R³.

當且僅當=R²-d²,即d=R,a=R時取等號，即安全負荷最大.