Question

（本小題滿分12分）已知函數.

（I）若函數在上為增函數，求正實數的取值范圍;

（II）當時，求在上的最大值和最小值;

（III）當時，求證：對大于1的任意正整數，都有 

 

Answer 1

【答案】

 

（I）

（II）函數在上的最大值是，最小值是0

（III）略

【解析】（I）∵      ∴     ……………1分

∵  函數在上為增函數∴  對恒成立，

∴  對恒成立，即對恒成立∴  ………………4分

（II）當時，，

∴  當時，，故在上單調遞減；

當時，，故在上單調遞增， ……………………6分

∴ 在區間上有唯一極小值點，故 

又 

∵      ∴ 

     ∴ 在區間上的最大值

綜上可知，函數在上的最大值是，最小值是0. ……………8分

（III）當時，，，故在上為增函數。

當時，令，則，故      ……………………9分

∴  ，即  …………10分

∴

   ∴        …………11分

     ∴ 

即對大于1的任意正整數，都有     ………12分