Question

我們把形如y=

b

|x|-a

(a＞0，b＞0)的函數因其圖象類似于漢字“囧”字，故生動地稱為“囧函數”，并把其與y軸的交點關于原點的對稱點稱為“囧點”，以“囧點”為圓心凡是與“囧函數”有公共點的圓，皆稱之為“囧圓”，則當a=1，b=1時，所有的“囧圓”中，面積的最小值為

 

．

Answer 1

分析：根據已知中關于“囧函數”、“囧點”、“囧圓”的定義，根據a=1，b=1我們易求出“囧點”坐標，并設出“囧圓”的方程，根據求出圓心到“囧函數”圖象上的最小距離后，即可得到結論．

解答：解：當a=1，b=1時，
則函數 y=

1

|x|-1

與Y軸交于（0，-1）點
則“囧點”坐標為（0，1）
令“囧圓”的標準方程為x²+（y-1）²=r²，
令“囧圓”與函數 y=

1

|x|-1

圖象的左右兩支相切
則切點坐標為（±

1+ 5

2

，±

1+ 5

2

）
此時r=

3

；
令“囧圓”與函數 y=

1

|x|-1

圖象的下支相切
則切點坐標為（0，-1）
此時r=2；
故所有的“囧圓”中，面積的最小值為3π
故答案為：3π

點評：本題考查的知識點是抽象函數及其應用，其中根據“囧圓”的圓心坐標及“囧函數”的解析式，求出“囧圓”的圓心到函數圖象距離的最小值是解答本題的關鍵，屬中檔題．