Question

已知數列{a_n^}滿足a_n=2a_n-1+2ⁿ-1（n∈N^*，n≥2），且a₄=81
（1）求數列的前三項a₁、a₂、a₃的值；
（2）是否存在一個實數λ，使得數列{

an+λ

2n

}為等差數列？若存在，求出λ的值；若不存在，說明理由；求數列a_n通項公式．

Answer 1

分析：（1）直接把n=3，2，1代入a_n=2a_n-1+2ⁿ-1（n∈N^*，n≥2），再借助于a₄=81，即可求出數列的前三項；
（2）先假設存在一個實數λ符合題意，得到

an+λ

2n

-

an-1+λ

2n-1

必為與n無關的常數，整理

an+λ

2n

-

an-1+λ

2n-1

即可求出實數λ，進而求出數列{a_n}的通項公式．

解答：解：（1）由a_n=2a_n-1+2ⁿ-1（n≥2）?a₄=2a₃+2⁴-1=81?a₃=33
同理可得a₂=13，a₁=5（3分）
（2）假設存在一個實數λ符合題意，則

an+λ

2n

-

an-1+λ

2n-1

必為與n無關的常數
∵

an+λ

2n

-

an-1+λ

2n-1

=

an-2an-1-λ

2n

=

2n-1-λ

2n

=1-

1+λ

2n

（5分）
要使

an+λ

2n

-

an-1+λ

2n-1

是與n無關的常數，則

1+λ

2n

=0，得λ=-1
故存在一個實數λ=-1，使得數列{

an+λ

2n

}為等差數列（8分）
由（2）知數列{

an+λ

2n

}的公差d=1，∴

an-1

2n

=

a1-1

21

+(n-1)•1=n+1
得a_n=（n+1）•2ⁿ+1（13分）

點評：本題主要考查數列遞推關系式的應用以及等差關系的確定．解決第二問的關鍵在于由數列{

an+λ

2n

}為等差數列，得到

an+λ

2n

-

an-1+λ

2n-1

必為與n無關的常數，進而求出對應實數λ的值．