Question

已知M是x²=8y的對稱軸與準線的交點，點N是其焦點，點P在該拋物線上，且滿足|PM|=m|PN|，當m取得最大值時，點P恰在以M、N為焦點的雙曲線上，則該雙曲線的實軸長為（　　）

• A、2（

  2

  -1）
• B、4（

  2

  -1）
• C、2（

  2

  +1）
• D、4（

  2

  +1）

Answer 1

考點：拋物線的簡單性質,雙曲線的簡單性質

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：過P作準線的垂線，垂足為B，則由拋物線的定義，結合|PM|=m|PN|，可得

1

m

=

|PB|

|PM|

，設PM的傾斜角為α，則當m取得最大值時，sinα最小，此時直線PM與拋物線相切，求出P的坐標，利用雙曲線的定義，即可得出結論．

解答：解：過P作準線的垂線，垂足為B，則由拋物線的定義可得|PN|=|PB|，
∵|PM|=m|PN|，
∴|PM|=m|PB|
∴

1

m

=

|PB|

|PM|

，
設PM的傾斜角為α，則sinα=

1

m

，
當m取得最大值時，sinα最小，此時直線PM與拋物線相切，
設直線PM的方程為y=kx-2，代入x²=8y，可得x²=8（kx-2），
即x²-8kx+16=0，
∴△=64k²-64=0，
∴k=±1，
∴P（4，4

2

），
∴雙曲線的實軸長為PM-PN=

14+(4 2 +2)2

-（4

2

+2）=4（

2

-1）．
故選：B．

點評：本題考查拋物線的性質，考查雙曲線、拋物線的定義，考查學生分析解決問題的能力，當m取得最大值時，sinα最小，此時直線PM與拋物線相切，是解題的關鍵．