Question

在平面直角坐標系xOy中，設二次函數f（x）=x²+2x+b（x∈R）的圖象與兩坐標軸有三個交點，經過這三個交點的圓記為C，求：
（Ⅰ）求實數b的取值范圍；
（Ⅱ）求圓C的方程；
（Ⅲ）問圓C是否經過某定點（其坐標與b 無關）？請證明你的結論。

Answer 1

解：（Ⅰ）令x=0，得拋物線與y軸的交點是（0，b），
令，
由題意b≠0且△>0，
解得：b<1且b≠0。
（Ⅱ）設所求圓的一般方程為，
令y=0，得與x²+2x+b=0是同一個方程，
故D=2，F=b；
令x=0，得，此時方程有一個根為b，
代入，得出E=-b-1，
所以，圓C的方程為。
（Ⅲ）圓C 必過定點（0，1）和（-2，1）。
證明如下：將（0，1）代入圓C的方程，得左邊=0²+1²+2×0-（b+1）+b=0，右邊=0，
所以圓C必過定點（0，1），
同理可證圓C必過定點（-2，1）。