Question

【題目】如圖，已知橢圓 的長軸，長為4，過橢圓的右焦點作斜率為（）的直線交橢圓于、兩點，直線，的斜率之積為.

（1）求橢圓的方程；

（2）已知直線，直線，分別與相交于、兩點，設為線段的中點，求證：.

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析.

【解析】

（1）由長軸長為4可得a，設出點B，C的坐標，利用斜率之積為，可得，即可得到b2，可得橢圓方程；

（2）設直線BC的方程為：y＝k（x﹣1）與橢圓方程聯立，得到根與系數的關系，直線的方程為：y（x+2）與x=4聯立，可得點M，N的坐標，可得線段MN的中點E．利用根與系數的關系及其斜率計算公式可得，只要證明1即可．

（1）設，，因點在橢圓上，所以，

故.又，，

所以，即，又，所以

故橢圓的方程為.

（2）設直線的方程為：，，，

聯立方程組，消去并整理得，

，則，.

直線的方程為，令得，

同理，；

所以，

代入化簡得，即點，又，

所以，所以.