Question

如圖，拋物線C₁：y²=8x與雙曲線有公共焦點F₂，點A是曲線C₁，C₂在第一象限的交點，且|AF₂|=5．
（Ⅰ）求雙曲線C₂的方程；
（Ⅱ）以F₁為圓心的圓M與雙曲線的一條漸近線相切，圓N：（x-2）²+y²=1．平面上有點P滿足：存在過點P的無窮多對互相垂直的直線l₁，l₂，它們分別與圓M，N相交，且直線l₁被圓M截得的弦長與直線l₂被圓N截得的弦長的比為，試求所有滿足條件的點P的坐標．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由題意知雙曲線C₂的焦點為F₁（-2，0）、F₂（2，0），設A（x，y）在拋物線C₁：y²=8x上，且|AF₂|=5，由拋物線的定義得，x+2=5，x=3，，，由此可知雙曲線的方程．
（Ⅱ）設圓M的方程為：（x+2）²+y²=r²，雙曲線的漸近線方程為：，故圓M：（x+2）²+y²=3．由此入手可推導出所有滿足條件的點P的坐標．
解答：解：（Ⅰ）∵拋物線C₁：y²=8x的焦點為F₂（2，0），
∴雙曲線C₂的焦點為F₁（-2，0）、F₂（2，0），（1分）
設A（x，y）在拋物線C₁：y²=8x上，且|AF₂|=5，
由拋物線的定義得，x+2=5，∴x=3，（2分）
∴y²=8×3，∴，（3分）
∴，（4分）
又∵點A在雙曲線上，
由雙曲線定義得，2a=|7-5|=2，∴a=1，（5分）
∴雙曲線的方程為：．（6分）
（Ⅱ）設圓M的方程為：（x+2）²+y²=r²，
雙曲線的漸近線方程為：，
∵圓M與漸近線相切，∴
圓M的半徑為，（7分）
故圓M：（x+2）²+y²=3，（8分）
設點P（x，y），則l₁的方程為y-y=k（x-x），
即kx-y-kx+y=0，l₂的方程為，
即x+ky-x-ky=0，
∴點M到直線l₁的距離為，
點N到直線l₂的距離為，
∴直線l₁被圓M截得的弦長，
直線l₂被圓N截得的弦長，（11分）
由題意可得，，
即3（x+ky-2）²=（2k+kx-y）²，
∴①
或②（12分）
由①得：，
∵該方程有無窮多組解，
∴，解得，
點P的坐標為．（13分）
由②得：，
∵該方程有無窮多組解，
∴，解得，
點P的坐標為．
∴滿足條件的點P的坐標為或．（14分）
點評：本題考查圓錐曲線的綜合應用，解題時要認真審題，仔細解答，注意公式的靈活運用．