Question

設雙曲線M：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的半焦距為c，且雙曲線M與圓x²+y²=c²相交于A，B，C，D四點，若以A，B，C，D為頂點的四邊形為正方形，則雙曲線M的離心率等于（　　）

• A、2+

  2

• B、

  2+ 2

• C、

  2

  +1
• D、

  2

  +1

Answer 1

考點：雙曲線的簡單性質

專題：計算題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：由雙曲線方程和圓的方程聯立，求出交點，再由正方形的概念可得有AB=AD，即AB²=AD²，再由離心率公式，計算即可得到．

解答： 解：由雙曲線的方程和圓x²+y²=c²聯立，
可得x²=

c4-b4

c2

=

a2(2c2-a2)

c2

，y²=

b4

c2

=

(c2-a2)2

c2

，
由于以A（x，y），B（-x，y），C（-x，-y），D（x，-y）
為頂點的四邊形為正方形ABCD，
則有AB=AD，即為AB²=AD²，
即有4x²=4y²，
即為a²（2c²-a²）=（c²-a²）²，
化簡即有c⁴-4a²c²+2a⁴=0，
e⁴-4e²+2=0，
e²=2±

2

，
由于e＞1，則e=

2+ 2

．
故選B．

點評：本題考查雙曲線方程和圓方程聯立求交點的方法，考查離心率的求法，考查運算能力，屬于基礎題．