Question

【題目】已知函數f（x）=x2﹣2ax﹣2alnx（a∈R），則下列說法正確的是 ①當a＜0時，函數y=f（x）有零點；
②若函數y=f（x）有零點，則a＜0；
③存在a＞0，函數y=f（x）有唯一的零點；
④若函數y=f（x）有唯一的零點，則a≤1．

Answer 1

【答案】①③④
【解析】解：令f（x）=x2﹣2ax﹣2alnx=0，則2a（x+lnx）=x2 ， ∴2a= ，令g（x）= ，
則g′（x）= =
令h（x）=x+lnx，通過作出兩個函數y=lnx及y=﹣x的圖像（如下圖）

發現h（x）有唯一零點在（0，1）上，
設這個零點為x0 ， 當x∈（0，x0）時，g′（x）＜0，g（x）在（0，x0）上單調遞減，x=x0是漸近線，
當x∈（x0 ， 1）時，g′（x）＜0，則g（x）在（x0 ， 1）上單調遞減，
當x∈（1，+∞）時g′（x）＞0，g（x）在（1，+∞）單調遞增，
∴g（1）=1，可以作出g（x）= 的大致圖像，

結合圖像可知，當a＜0時，y=2a與y=g（x）的圖像只有一個交點，
則函數y=f（x）只有一個零點，故選項A正確；
若函數y=f（x）有零點，則a＜0或a≥ ，故選項B不正確；
存在a= ＞0，函數y=f（x）有唯一零點，故選項C正確；
若函數y=f（x）有唯一零點，則a＜0，或a= ，則a≤1，故選項D正確．
所以答案是：①③④．