Question

2條直線將一個平面最多分成4部分，3條直線將一個平面最多分成7部分，4條直線將一個平面最多分成11部分，…；4=C₂⁰+C₂¹+C₂²，7=C₃⁰+C₃¹+C₃²，11=C₄⁰+C₄¹+C₄²；…．
（1）n條直線將一個平面最多分成多少個部分（n＞1）？證明你的結論；
（2）n個平面最多將空間分割成多少個部分（n＞2）？證明你的結論．

Answer 1

解：（1）n條直線將一個平面最多分成C_n⁰+C_n¹+C_n²個部分（n＞1）．
證明：用數學歸納法證明：
①2條直線將一個平面最多分成4部分，4=C₂⁰+C₂¹+C₂²，結論成立．
②假設k條直線把一個平面最多分成C_k⁰+C_k¹+C_k²個部分（k＞1），
則k+1條直線把一個平面最多分成：
C_k⁰+C_k¹+C_k²+（k+1）
=1+k+
=1+（k+1）+
=C_k+1⁰+C_k+1^k+C_k+1²，
結論也成立，
由①②知，n條直線將一個平面最多分成C_n⁰+C_n¹+C_n²個部分（n＞1）．
（2）n個平面最多將空間分割成C_n⁰+C_n¹+C_n²+C_n³個部分（n＞2）．
證明：設n個r-1維空間可將r維空間最多分成S（n，r）個部分，
則只需證明S（n，r）=C_n⁰+C_n¹+…+C_n^r，這里n∈N*，r∈{1，2，3}，且若i＞n，i∈N^*，定義C_nⁱ=0．
在這里，我們對r和n用雙重數學歸納法：
當r=1時，n個點把直線分成1+n個部分，
所以，S（n，1）=1+n=C_n⁰+C_n¹，結論成立．
假設當r=k時，S（n，k）=C_n⁰+C_n¹+…C_n^k，
則當r=k+1時，
易知S（1，k+1）=2，
又假設當n=j時，S（j，k+1）=C_j⁰+C_j¹+…C_j^k+1，
則當n=j+1時，第j+1個k維，
空間必與前面的j個k維空間產生j個k-1維空間的交集，
而由假設知，這j個k-1維空間把第j+1個k維空間最多分成S（j，k）=C_j⁰+C_j¹+…C_j^k個部分，
且每一部分將原有的k+1維空間分成兩個部分，
所以S（j+1，k+1）=S（j，k+1）+S（j，k）
=（C_j⁰+C_j¹+…C_j^k+1）+（C_j⁰+C_j¹+…C_j^k）
=C_j+1⁰+（C_j¹+C_j⁰）+（C_j²+C_j¹）+…+（C_j^k+1+C_j^k）
=C_j+1⁰+C_j+1¹+…+C_j+1^k+1．
因此，當r=k+1時，對n∈N^*，結論成立．
由數學歸納法原理可知，對n∈N*，r∈{1，2，3}，結論得到了證明．
分析：（1）n條直線將一個平面最多分成C_n⁰+C_n¹+C_n²個部分（n＞1）．
用數學歸納法證明：①2條直線將一個平面最多分成4部分，4=C₂⁰+C₂¹+C₂²，結論成立．②假設k條直線把一個平面最多分成C_k⁰+C_k¹+C_k²個部分（k＞1），則k+1條直線把一個平面最多分成：C_k⁰+C_k¹+C_k²+（k+1）=1+k+=C_k+1⁰+C_k+1^k+C_k+1²，結論也成立，由①②知，n條直線將一個平面最多分成C_n⁰+C_n¹+C_n²個部分（n＞1）．
（2）n個平面最多將空間分割成C_n⁰+C_n¹+C_n²+C_n³個部分（n＞2）．
用數學歸納法證明：設n個r-1維空間可將r維空間最多分成S（n，r）個部分，則只需證明S（n，r）=C_n⁰+C_n¹+…+C_n^r，在這里，我們對r和n用雙重數學歸納法能夠得到結論．
點評：本題考查歸納推理的應用，解題時要認真審題，仔細解答，注意組合數公式和數學歸納法的靈活運用．