Question

設t＞0，已知函數f （x）=x²（x-t）的圖象與x軸交于A、B兩點．
（1）求函數f （x）的單調區間；
（2）設函數y=f（x）在點P（x，y）處的切線的斜率為k，當x∈（0，1]時，k≥-恒成立，求t的最大值；
（3）有一條平行于x軸的直線l恰好與函數y=f（x）的圖象有兩個不同的交點C，D，若四邊形ABCD為菱形，求t的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由導數大于0可求單調遞增區間，導數小于0可求單調遞減區間；
（2）當x∈（0，1]時，k≥-恒成立，轉化為即t≤，x∈（0，1]只需求其最小值；
（3）由題意畫出圖象，用距離相等可求t的值．
解答：解：（1）∵函數f （x）=x²（x-t）=x³-tx²，∴f′（x）=3x²-2tx=x（3x-2t）
令x（3x-2t）＜0，解得0＜x＜，（t＞0）；令x（3x-2t）＞0，解得x＜0，或x＞，
故函數f （x）的單調遞減區間為（0，）；單調遞增區間為（-∞，0）和（，+∞）．
（2）由題意及（1）知，k=f′（x）=3x²-2tx，x∈（0，1]，k≥-恒成立
即當x∈（0，1]時，3x²-2tx≥-恒成立，即t≤，x∈（0，1]
即函數g（x）=，x∈（0，1]只需求出其最小值即可，
g（x）==≥2=，當且僅當，
即x=∈（0，1]時，取到等號，故可得t≤
故t的最大值為：
（3）由以上可知f（x）的圖由f（）=-即C（，）B（t，0）
由于四邊形ABCD為菱形，故|AB|=|BC|即t=解得t=
故t的值為：
點評：本題為導數的綜合應用，設計單調區間的求解，恒成立問題以及由性質畫圖象，屬中檔題．