Question

【題目】已知函數f（x）=lnx+（e﹣a）x﹣b，其中e為自然對數的底數．若不等式f（x）≤0恒成立，則 的最小值為 ．

Answer 1

【答案】﹣
【解析】解：∵函數f（x）=lnx+（e﹣a）x﹣b，其中e為自然對數的底數， ∴ ，x＞0，
當a≤e時，f′（x）＞0，
f（x）在（0，+∞）上是增函數，∴f（x）≤0不可能恒成立，
當a＞e時，由 ，得x= ，
∵不等式f（x）≤0恒成立，∴f（x）的最大值為0，
當x∈（0， ）時，f′（x）＞0，f（x）單調遞增，
當x∈（ ，+∞）時，f′（x）＜0，f（x）單調遞減，
∴當x= 時，f（x）取最大值，
f（ ）=﹣ln（a﹣e）﹣b﹣1≤0，
∴ln（a﹣e）+b+1≥0，
∴b≥﹣1﹣ln（a﹣e），
∴ （a＞e），
令F（x）= ，x＞e，
F′（x）= = ，
令H（x）=（x﹣e）ln（x﹣e）﹣e，
H′（x）=ln（x﹣e）+1，
由H′（x）=0，得x=e+ ，
當x∈（e+ ，+∞）時，H′（x）＞0，H（x）是增函數，
x∈（e，e+ ）時，H′（x）＜0，H（x）是減函數，
∴當x=e+ 時，H（x）取最小值H（e+ ）=﹣e﹣ ，
∵x→e時，H（x）→0，x＞2e時，H（x）＞0，H（2e）=0，
∴當x∈（e，2e）時，F′（x）＜0，F（x）是減函數，
當x∈（2e，+∞）時，F′（x）＞0，F（x）是增函九，
∴x=2e時，F（x）取最小值，F（2e）= =﹣ ，
∴ 的最小值為﹣ ．
故答案為：﹣ ．
求出 ，x＞0，當a≤e時，f′（x）＞0，f（x）≤0不可能恒成立，當a＞e時，由 ，得x= ，由題意當x= 時，f（x）取最大值0，推導出 （a＞e），令F（x）= ，x＞e，F′（x）= ，令H（x）=（x﹣e）ln（x﹣e）﹣e，H′（x）=ln（x﹣e）+1，由此利用導數性質能求出 的最小值．