Question

已知橢圓C:的離心率為,短軸一個端點到右焦點的距離為．
(1)求橢圓C的方程；
(2)設直線與橢圓C交于A、B兩點，以弦為直徑的圓過坐標原點，試探討點到直線的距離是否為定值？若是，求出這個定值；若不是，說明理由．

Answer 1

（1）；（2）是定值，定值為．

解析試題分析：（1）利用橢圓的離心率為 ，短軸一個端點到右焦點的距離為，建立方程組，即可求橢圓C的方程；（2）分類討論，①當軸時，得②當與軸不垂直時，設直線的方程為．聯立，得，利用韋達定理，及以AB弦為直徑的圓過坐標原點O，則有，得，再利用點到直線的距離公式，即可求得結論．
解：（1）設橢圓的半焦距為，依題意   ，  
所求橢圓方程為．
（2）設，．
①當軸時，設方程為：，此時兩點關于軸對稱，
又以為直徑的圓過原點，設代人橢圓方程得：
②當與軸不垂直時，
設直線的方程為．聯立，
整理得，
，．
又。
由以為直徑的圓過原點，則有。 即： 故滿足：   得：  
所以=。又點到直線的距離為：。
綜上所述：點到直線的距離為定值．
考點：1．直線與圓錐曲線的關系；2．橢圓的標準方程．