Question

如下圖，在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD是正方形，側面PDC是邊長為a的正三角形，且平面PDC⊥底面ABCD，E為PC的中點.

（1）求異面直線PA與DE所成角的余弦值；

（2）求點D到平面PAB的距離.

Answer 1

解：取DC的中點M，AB中點N，連結PM，MN，由△PDC為正三角形和PM⊥CD，又∵平面PDC⊥平面ABCD.且面PDC∩平面ABCD=CD，∴PM⊥平面ABCD，由四邊形ABCD為正方形知MN⊥CD.因此以M點為原點，MN，MC，MP所在直線為x軸、y軸、z軸建立直角坐標系.

則M（0，0，0），C（0，,0），D（0，-,0）,P(0,0,a),A(a,-,0),B(a,,0),

（1）由E為PC中點知E（0，,a）.

∴=(a,-,-a),=(0,,a).

∴·=-a²,||=a,||=a,

∴cos(,)=,

因此異面直線PA與DE的夾角的余弦值為.

（2）設n為平面PAB的法向量，并設n=（x,y,z），則

即

∴n=(,0,1).

又∵=(a,0,0),

∴d=||=a,

即點D到平面PAB的距離為a.