Question

【題目】已知點F1，F2分別為橢圓的左、右焦點，點P為橢圓上任意一點，P到焦點F2的距離的最大值為，且△PF1F2的最大面積為1．

（Ⅰ）求橢圓C的方程．

（Ⅱ）點M的坐標為，過點F2且斜率為k的直線L與橢圓C相交于A，B兩點．對于任意的是否為定值？若是求出這個定值；若不是說明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）定值為

【解析】

（Ⅰ）利用P到焦點F2的距離的最大值為，且△PF1F2的最大面積為1，結合a2＝b2+c2，求出a，c，b可得橢圓的方程．

（Ⅱ）利用直線與橢圓方程，通過韋達定理，結合向量的數量積化簡得到定值即可．

（I）由題意可知：a+c＝，×2c×b＝1，且a2＝b2+c2，

∴a2＝2，b2＝1，c2＝1，∴所求橢圓的方程為：.

（II）設直線L的方程為：y＝k（x﹣1），A（x1，y1），B（x2，y2），M（，0）

聯立直線與橢圓方程，消去y可得（2k2+1）x2﹣4kx+2（k2﹣1）＝0

則

∴對于任意的為定值．