Question

20、下表給出一個“等差數陣”：

其中每行、每列都是等差數列，a_ij表示位于第i行第j列的數．
（I）寫出a₄₅的值；
（II）寫出a_ij的計算公式；
（III）證明：正整數N在該等差數列陣中的充要條件是2N+1可以分解成兩個不是1的正整數之積．

Answer 1

分析：（1）先根據圖象和每行、每列都是等差數列得到a₄₅的值．
（2）先根據第一行的前兩個數求出第一行的通項公式，同理可得第二行的通項公式，進而求出第i行的首項和公差得到通項公式．
（3）必要性：先假設N在該等差數陣中，則一定存在正整數i，j使得N=i（2j+1）+j成立，再得到2N+1的關系式后進行整理即可得得證．充分性：先假設2N+1可以分解成兩個不是1的正整數之積，根據2N+1是奇數可以分解為兩個不是1的奇數之積，表示出來即可得證．

解答：解：（I）a₄₅=49．

（II）該等差數陣的第一行是首項為4，公差為3的等差數列：a_1j=4+3（j-1），
第二行是首項為7，公差為5的等差數列：a_2j=7+5（j-1），
第i行是首項為4+3（i-1），公差為2i+1的等差數列，因此
a_ij=4+3（i-1）+（2i+1）（j-1），
=2ij+i+j=i（2j+1）+j．

（III）必要性：若N在該等差數陣中，則存在正整數i，j使得N=i（2j+1）+j，
從而2N+1=2i（2j+1）+2j+1=（2i+1）（2j+1），
即正整數2N+1可以分解成兩個不是1的正整數之積．
充分性：若2N+1可以分解成兩個不是1的正整數之積，由于2N+1是奇數，則它必為兩個不是1的奇數之積，即存在正整數k，l，使得2N+1=（2k+1）（2l+1），
從而N=k（2l+1）+l=a_kl，
可見N在該等差數陣中．
綜上所述，正整數N在該等差數陣中的充要條件是2N+1可以分解成兩個不是1的正整數之積．

點評：本小題主要考查等差數列、充要條件等基本知識，考查邏輯思維能力、分析問題和解決問題的能力．