Question

【題目】已知存在常數，那么函數在上是減函數，在上是增函數，再由函數的奇偶性可知在上是增函數，在上是減函數.

（1）判斷函數的單調性，并證明：

（2）將前述的函數和推廣為更為一般形式的函數，使和都是的特例，研究的單調性（只須歸納出結論，不必推理證明）

Answer 1

【答案】見解析；見解析.

【解析】

采用換元的思想：令則;再借助復合函數單調性的判斷規則和奇偶函數在對稱區間上的單調性特點,即可得證.

由結論和題中的性質進行歸納總結，即可得出一般性結論.

判斷如下:

在上為減函數,

在上為增函數;

再由函數的奇偶性可知,

在上為減函數,

在上為增函數.

證明:令,

則,

由題可得,

在上為減函數,

在上是增函數;

在上為增函數,

在上為減函數;

由復合函數單調性判斷規則知:

在上為減函數,

在上為增函數;

由題知,

為偶函數,

偶函數在對稱區間上單調性相反,

在上為減函數,

在上為增函數;

一般性結論：

函數在上為減函數,

在上為增函數;

再由函數的奇偶性可知,

當n為奇數時,

在上為增函數,

在上為減函數;

當n為偶數時,

在上為減函數,

在上為增函數;