Question

（本小題滿分12分）

已知函數(shù)，其中是自然對數(shù)的底數(shù)，．

（1）若，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；

（2）若，求的單調(diào)區(qū)間；

（3）若，函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象有3個不同的交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

（1）

（2）①若，.單調(diào)遞增區(qū)間為.

②若，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為.

③若，單調(diào)遞增區(qū)間為.  

（3）

【解析】

試題分析：解：（1）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013062812103784121909/SYS201306281211396850504773_DA.files/image010.png">，

所以，       1分

所以曲線在點(diǎn)處的切線斜率為.     2分

又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013062812103784121909/SYS201306281211396850504773_DA.files/image015.png">，

所以所求切線方程為，即．    3分

（2），

①若，當(dāng)或時，；

當(dāng)時，.

所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，；

單調(diào)遞增區(qū)間為.                             5分

②若，，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為. 6分

③若，當(dāng)或時，；

當(dāng)時，.

所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，；

單調(diào)遞增區(qū)間為.                           8分

（3）由（2）知，在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

所以在處取得極小值，在處取得極大值.    10分

由，得.

當(dāng)或時，；當(dāng)時，.

所以在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.

故在處取得極大值，在處取得極小值.   12分

因?yàn)楹瘮?shù)與函數(shù)的圖象有3個不同的交點(diǎn)，

所以，即. 所以.12分

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用

點(diǎn)評：主要是考查了導(dǎo)數(shù)的符號與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系的運(yùn)用，屬于中檔題。