Question

【題目】已知 ,函數 f(x)=x2(x-a) ,若f'(1)=1 .
（1）求 a 的值并求曲線 y=f(x) 在點(1,f(1)) 處的切線方程y=g(x) ；
（2）設h(x)=f'(x)+g(x) ,求 h(x) 在 [0,1] 上的最大值與最小值.

Answer 1

【答案】
（1）

解：f'(x)=3x2-2ax ,由 f'(1)=1 得 3-2a=1 ,所以 a=1 ;

當 a=1 時,f(x)=x3-x2,f(1)=0 ,又 f'(1)=1 ,

所以曲線y=f(x) 在(1,f(1)) 處的切線方程為 y-0=x-1 ,即g(x)=x-1 ;

（2）

【解答】

解：由(1)得 ,

又h(0)=-1,h(1)=1, ,

∴ h(x) 在 [0,1] 上有最大值1,有最小值 .

【解析】本題主要考查了利用導數求閉區間上函數的最值、利用導數研究曲線上某點切線方程，解決問題的關鍵是根據導數的幾何意義求解切線方程以及函數的最值，屬于中檔題
【考點精析】本題主要考查了函數的最大(小)值與導數的相關知識點，需要掌握求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值才能正確解答此題．