Question

已知離心率為的橢圓C：過（1，）
（1）求橢圓C的方程；
（2）是否存在實數m，使得在此橢圓C上存在不同兩點關于直線y=4x+m對稱，若存在請求出m，若不存在請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由離心率為的橢圓C：過（1，），知，由此能求出橢圓C的方程．
（2）假設存在實數m，使得在此橢圓C上存在不同兩點關于直線y=4x+m對稱．設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB的中點M（x，y），因為在此橢圓C上存在不同兩點關于直線y=4x+m對稱，所以，再用點差法進行求解．
解答：解：（1）∵離心率為的橢圓C：過（1，），
∴，解得a²=4，b²=3，c²=1，
∴橢圓C的方程為
（2）假設存在實數m，使得在此橢圓C上存在不同兩點關于直線y=4x+m對稱．
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB的中點M（x，y），
∵在此橢圓C上存在不同兩點關于直線y=4x+m對稱，
∴，
∵，，
相減得，即y₁+y₂=3（x₁+x₂），
∴y=3x，3x=4x+m，x=-m，y=-3m
而M（x，y）在橢圓內部，則，即．
故存在實數m∈（-，），使得在此橢圓C上存在不同兩點關于直線y=4x+m對稱．
點評：本題考查橢圓方程的求法，考查滿足條件的實數的取值范圍的求法，綜合性強，難度大，具有一定的探索性，對數學思維的要求較高．解題時要注意等價轉化思想的合理運用．