Question

在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，已知C=

π

3

．
（1）若a=2，b=3，求邊c；
（2）若c=

3

，sinC+sin（B-A）=sin2A，求△ABC的面積．

Answer 1

分析：（1）由a，b及cosC的值，利用余弦定理即可求出c的值；
（2）由A，B，C為三角形內(nèi)角，得到C=π-（A+B），代入已知等式化簡(jiǎn)，左邊利用和差化積公式變形，當(dāng)cosA不為0時(shí)，得到sinA=sinB，即A=B，確定出三角形為等邊三角形，求出此時(shí)面積；當(dāng)cosA=0時(shí)，確定出A度數(shù)為90度，即此時(shí)三角形為直角三角形，求出此時(shí)面積即可．

解答：解：（1）∵a=2，b=3，C=

π

3

，
∴由余弦定理得：c²=a²+b²-2abcosC=4+9-6=7，
則c=

7

；
（2）∵A+B+C=π，
∴C=π-（A+B），
∴sinC+sin（B-A）=sin2A化簡(jiǎn)為：sin（B+A）+sin（B-A）=2sinAcosA，即2sinBcosA=2sinAcosA，
當(dāng)cosA≠0時(shí)，sinA=sinB，
∵A、B為三角形內(nèi)角，
∴A=B或A+B=π（舍去），
又C=

π

3

，c=

3

，
∴△ABC為等邊三角形，
此時(shí)S_△ABC=

1

2

absinC=

3 3

4

；
當(dāng)cosA=0時(shí)，A=

π

2

，
∴△ABC為直角三角形，B=

π

6

，
設(shè)b=x，則a=2x，
根據(jù)勾股定理得：x²+（

3

）²=（2x）²，
解得：x=1，
則b=1，a=2，
此時(shí)S_△ABC=

1

2

absinC=

3

2

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了余弦定理，勾股定理，以及三角形面積公式，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵．