Question

已知正四面體ABCD的棱長(zhǎng)為2，所有與它的四個(gè)頂點(diǎn)距離相等的平面截這個(gè)四面體所得截面的面積之和是
（　　）

A．3+ 3

B．4

C．3

D． 3

Answer 1

設(shè)E、F、G分別為AB、AC、AD的中點(diǎn)，連結(jié)EF、FG、GE，
則△EFG是三棱錐A-BCD的中截面，
可得平面EFG∥平面BCD，點(diǎn)A到平面EFG的距離等于平面EFG與平面BCD之間的距離，
∴A、B、C、D到平面EFG的距離相等，即平面EFG是到四面體ABCD四個(gè)頂點(diǎn)距離相等的一個(gè)平面．
正四面體ABCD中，象△EFG這樣的三角形截面共有4個(gè)．
∵正四面體ABCD的棱長(zhǎng)為2，可得EF=FG=GE=1，
∴△EFG是邊長(zhǎng)為1的正三角形，可得S_△EFG=

1

2

EF•FG•sin60°=

3

4

．
取CD、BC的中點(diǎn)H、I，連結(jié)GH、HI、IE，
∵EI、GH分別是△ABC、△ADC的中位線，
∴EI

∥

.

1

2

AC，GH

∥

.

1

2

AC，得EI

∥

.

GH，可得四邊形EGHI為平行四邊形，
又∵AC=BD且AC⊥BD，EI

∥

.

1

2

AC，HI

∥

.

1

2

BD，
∴EI=HI且EI⊥HI，可得四邊形EGHI為正方形，其邊長(zhǎng)為

1

2

AC=1，由此可得正方形EGHI的面積S_EGHI=1．
∵BC的中點(diǎn)I在平面EGHI內(nèi)，∴B、C兩點(diǎn)到平面EGHI的距離相等．
同理可得D、C兩點(diǎn)到平面EGHI的距離相等，且A、B兩點(diǎn)到平面EGHI的距離相等．
∴A、B、C、D到平面EGHI的距離相等，可得平面EGHI是到四面體ABCD四個(gè)頂點(diǎn)距離相等的一個(gè)平面．
正四面體ABCD中，象四邊形EGHI這樣的正方形截面共有3個(gè)．
因此，所有滿足條件的正四面體的截面面積之和等于4S_△EFG+3S_EGHI=4×

3

4

+3×1=3+

3

．
故選：A