Question

9、已知R上可導函數f（x）的圖象如圖所示，則不等式（x²-2x-3）f′（x）＞0的解集為（　　）

A、（-∞，-2）∪（1，+∞）

B、（-∞，-2）∪（1，2）

C、（-∞，-1）∪（-1，0）∪（2，+∞）

D、（-∞，-1）∪（-1，1）∪（3，+∞）

Answer 1

分析：根據題意結合圖象求出f′（x）＞0的解集與f′（x）＜0的解集，因此對原不等式進行化簡與轉化，進而得到原不等式的答案．

解答：解：由圖象可得：當f′（x）＞0時，函數f（x）是增函數，所以f′（x）＞0的解集為（-∞，-1），（1，+∞），
當f′（x）＜0時，函數f（x）是減函數，所以f′（x）＜0的解集為（-1，1）．
所以不等式f′（x）＜0即與不等式（x-1）（x+1）＜0的解集相等．
由題意可得：不等式（x²-2x-3）f′（x）＞0等價于不等式（x-3）（x+1）（x+1）（x-1）＞0，
所以原不等式的解集為（-∞，-1）∪（-1，1）∪（3，+∞），
故選D．

點評：解決此類問題的關鍵是熟悉函數的單調性與導數的關系，以及掌握讀圖與識圖的技巧再結合不等式的解法即可得到答案．