Question

設命題P：x₁，x₂是方程x²-ax-2=0的兩個實根，不等式|m²-5m-3|≥|x₁-x₂|對任意實數a∈[-1，1]恒成立，命題Q：函數f（x）=lg[4x²+（m-2）x+1]的值域為全體實數，若P且Q為真，試求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：由題設知x₁+x₂=a且x₁+x₂=-2，所以|x₁-x₂|=（x₁+x₂）²-4x₁x₂=a²+8≤3，由題意，不等式|m²-5m-3|≥|x₁-x₂|對任意實數a∈[1，1]恒成立的m的解集等于不等式|m²-5m-3|≥3的解集，由此知當m≤1或0≤m≤5或m≥6時，P是正確的．
要使函數f（x）=lg[4x²+（m-2）x+1]的值域為全體實數，則△=（m-2）²-16≥0，∴m≥6或m≤-2，再利用P且Q為真，故問題得解．

解答：解：由題設知x₁+x₂=a且x₁+x₂=-2，所以|x₁-x₂|=（x₁+x₂）²-4x₁x₂=a²+8，當a∈[-1，1]時，a²+8的最大值為9，
即|x₁-x₂|≤3
由題意，不等式|m²-5m-3|≥|x₁-x₂|對任意實數a∈[1，1]恒成立的m的解集等于不等式|m²-5m-3|≥3的解集，由此不等式得m²-5m-3≤-3①或m²-5m-3≥3②
不等式①的解為0≤m≤5不等式②的解為m≤1或m≥6因為，對m≤1或0≤m≤5或m≥6時，P是正確的．
函數f（x）=lg[4x²+（m-2）x+1]的值域為全體實數，則△=（m-2）²-16≥0，∴m≥6或m≤-2
∵P且Q為真，∴m≥6或m≤-2

點評：本題考查命題真假的判斷的應用，難度較大，解題時要認真審題，仔細解答，注意公式的靈活運用．