Question

如圖，四邊形是正方形，平面，，，，，分別為，，的中點．

（1）求證：平面；
（2）求平面與平面所成銳二面角的大小.

Answer 1

（1）證明詳見解答；（2）（或）.

（1）有單僥幸的中位線定理可證FG∥PE,再根據直線與平面平行的判定定理求證結論即可.
(2)建立適當的空間直角坐標系，寫出點的坐標，求出相應向量的的坐標.然后分別出平面和平面的一個法向量，最后根據向量的夾角公式求得二面角的平面角大小.
試題分析：
試題解析：(1）證明：,分別為，的中點，
.                1分
又平面，平面，                3分
平面.                            5分
（2）解:平面，，平面
平面，.
 四邊形是正方形，.
以為原點,分別以直線為軸, 軸,軸
建立如圖所示的空間直角坐標系，設                7分

,
，，，，，,
,.
，， 分別為，，的中點，
，，,,      8分
（解法一)設為平面的一個法向量，則,
即，令，得.                       10分
設為平面的一個法向量,則,
即，令，得.                   12分
所以==.                          13分
所以平面與平面所成銳二面角的大小為（或）.            14分
（解法二) ，,
是平面一個法向量.                         10分
，,
是平面平面一個法向量.                      12分
                13分
平面與平面所成銳二面角的大小為（或）.           14分
（解法三) 延長到使得連

，，
四邊形是平行四邊形，
四邊形是正方形，
，分別為，的中點，
平面，平面， 平面.          7分
平面平面平面    9分
故平面與平面所成銳二面角與二面角相等.        10分
平面平面
平面是二面角的平面角.    12分
                            13分
平面與平面所成銳二面角的大小為（或）.          14分